el hotel de Hilbert

Hilbert continuó trabajando y elaboró un ejemplo de infinito, conocido como el hotel de Hilbert, que ilustra con claridad sus extrañas cualidades. Este hipotético hotel goza del atractivo atributo de poseer un número infinito de habitaciones. Un día llega a el un cliente nuevo y se decepciona al saber que, a pesar de extenderse hasta el infinito, todas las habitaciones del hotel están ocupadas. Hilbert, el recepcionista, medita por unos momentos y tranquiliza al recién llegado asegurándole que encontrará una habitación libre. Pide a todos los clientes ya instalados que se muden a la habitación que sigue a la que ocupan ahora, de manera que el de la habitación número uno se muda a la dos, el de la dos pasa a la tres, etc. Todos los que ya estaban en el hotel siguen teniendo una habitación, y eso permite que el último en llegar duerma en la habitación número uno, ahora vacante. Esto demuestra que infinito más uno es igual a infinito.

La noche siguiente, Hilbert tiene que enfrentarse a un problema mucho mayor. El hotel continúa al completo cuando llega un ómnibus infinitamente largo con un número infinito de nuevos clientes. Hilbert permanece imperturbable y se frota las manos pensando en la cantidad infinita de facturas de hotel que podrá cobrar. Pide a sus clientes ya instalados que se muden de nuevo, pero esta vez a la habitación cuyo número sea el doble del que tiene la que ahora ocupan. Así que el de la habitación número uno pasa a la dos, el de la dos pasa a la cuatro, y así sucesivamente. Todos los que estaban en el hotel siguen teniendo habitación y ahora un número infinito de habitaciones, todas las impares, han quedado vacantes para los recién llegados.

SINGH SIMON
“El enigma de Fermat”