los números de mersenne

(Marin) Mersenne nació el 8 de septiembre de 1588 en Oizé, en el actual departamento de Sarthe (Francia). De sus andanzas en los primeros años de su vida apenas se tienen datos. Se sabe que en 1604 ingresó como interno en la Fleche, un colegio fundado en 1603 por Enrique IV y dirigido por la orden de los jesuitas, donde permaneció un año; durante ese periodo trabó una sólida amistad con Descartes, condiscípulo suyo y con quien mantendría una relación de amistad toda su vida.

En 1609 inició sus estudios de teología en La Sorbona, donde se licenció dos años después, para ingresar en la Orden de los Mínimos. En 1612 fue nombrado presbítero del convento de la Anunciación, en París.

Desde 1614 a 1618 estuvo impartiendo clases de filosofía en el convento de Nevers. Luego volvió a su celda de París, donde permanecería hasta su muerte, acaecida el 1 de septiembre de 1648. Con el ánimo de servir hasta el final a los objetivos de la ciencia, Mersenne dejó escrita en su testamento la voluntad póstuma de que su cuerpo fuera donado a la facultad de Medicina para estudios anatómicos.

Entre las primeras obras de Mersenne, que fueron de carácter puramente teológico, figuran Quaestiones celeberrimae in Genesim (1623), La verdad de las ciencias contra los escépticos y los pirrónicos (1625) y Cuestiones teológicas, físicas, morales y matemáticas (1634). Entre sus obras científicas hay que destacar Armonía universal (1636), en la que estableció una fórmula que relacionaba la longitud de una cuerda y la frecuencia del sonido emitido por ésta.

Dicha fórmula le permitió crear una escala donde todos los intervalos fueran iguales, lo cual haría innecesaria la famosa coma pitagórica, estableciendo las bases teóricas para la que habría de ser una de las mayores revoluciones de la historia de la música: la escala cromática o temperada.

(…)

La gran obra científica de Mersenne de carácter puramente matemático fue Cogitata Physico-Mathematica (1644), en la que aparece su célebre estudio sobre los números primos. En el prólogo de la misma Mersenne afirma que de entre todos los primos que hay entre 2 y 257, el número 2^p − 1 sólo es primo si el valor de p es alguno de los siguientes números:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257

Cuando tomamos 2 y lo elevamos al último número de la lista, el resultado es un número de setenta y siete cifras. Cómo se las arregló Mersenne con los medios de cálculo de la época para decidir que éste era un número primo constituye un auténtico misterio que nadie ha conseguido resolver.

Es fácil demostrar que si 2^p − 1 es primo, entonces p debe ser primo (o lo que es lo mismo, que si p no es primo, entonces tampoco lo es 2^p − 1). Este resultado, que ya era conocido en la época de Mersenne, lo llevó a investigar qué sucedía cuando en esta expresión se introducía un número p que fuera primo. También se sabía que 2^p − 1 era primo para los valores p= 2, 3, 5, 7, 13, 17 y 19, pero no para p= 11.

Tuvieron que pasar cien años para que Euler consiguiera demostrar que 2³¹− 1 era primo. En 1947 se resolvió completamente la lista, quedando del siguiente modo,

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127

de manera que en la lista original sobraban dos números y faltaban tres. A pesar de todo, a estos números se los sigue llamando «números de Mersenne», números que actualmente desempeñan un importante papel en los llamados «tests de primalidad», un conjunto de algoritmos encaminados a decidir si un número es o no primo.

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La pequeña celda en la que Mersenne pasó los últimos treinta años de su vida, en el convento de los Mínimos, junto a la Place Royal, acabó convirtiéndose en el centro neurálgico de la ciencia europea de su tiempo. Se llegó a decir que informar a Mersenne de un descubrimiento era tanto como difundir una publicación por toda Europa. Después de su muerte se encontraron en su celda documentos que atestiguaban que Mersenne mantenía setenta y ocho líneas diferentes de correspondencia, en otras tantas líneas de investigación, en las que figuraban personalidades del mundo científico de entonces con nombres tan relevantes como Torricelli, Descartes, Pascal, Gassendi, Roberval, Beaugrand o Fermat.

ENRIQUE GRACIÁN
“Los números primos”
fuente: http://www.librosmaravillosos.com/losnumerosprimos/capitulo03.html