ratonera

El matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895) fue uno de los matemáticos teóricos más importantes de la Inglaterra del siglo XIX. Escribió 967 artículos, recogidos en los 13 volúmenes de la publicación The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley (obra de acceso libre en la página Internet Archive), y un libro sobre funciones elípticas, An Elementary Treatise on Elliptic functions (1876).

Trabajó en todas las ramas de la matemática pura, e incluso en cuestiones de matemática aplicada. Su nombre está asociado a muchos conceptos y resultados matemáticos, desde la superficie de Cayley, la métrica de Cayley-Klein, el grafo de Cayley o la construcción de Cayley Dickson, hasta el teorema de Cayley-Hamilton en álgebra lineal, el teorema de Cayley en teoría de grupos o la fórmula de Cayley de teoría de grafos.

En 1857, el matemático inglés, que había sido Senior Wrangler de Cambridge en 1842, se inventó un juego de cartas relacionado con las permutaciones al que llamó la ratonera y que publicó en una pequeña nota titulada Un problema sobre permutaciones, en la revista Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (vol. 1, página 79).

Para este juego se necesitan n cartas numeradas del 1 a n. Por ejemplo 13 cartas, como menciona Cayley en su nota, que pueden ser las cartas de cada palo en la baraja francesa que se utiliza para jugar al póker. Para empezar se barajan bien las n cartas, lo cual forma una permutación de las cartas, o lo que es lo mismo, del conjunto de los n números, {1, 2, …, n}.

Se coge el mazo de las n cartas barajadas, con los números hacia abajo, y se empiezan a coger las cartas, una a una, por la parte de arriba, a la vez que se va contando. Primera carta “1”, segunda carta “2”, tercera carta “3”, etcétera. Si el número de la carta que se coge coincide con el número que se está contando se retira dicha carta y se empieza a contar de nuevo desde “1” con la siguiente carta de arriba. En caso contrario, se coloca la carta en la parte de abajo del mazo y se continua contando. Se gana en la ratonera si se terminan retirando todas las cartas, pero si se llega a contar hasta n + 1 (14 en el caso de 13 cartas) se habrá perdido.

Cayley lo explica de una forma un poco distinta. Una vez barajadas las cartas, estas son colocadas, según su versión original, boca arriba formando un círculo, pero el procedimiento es el mismo.

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Para el juego de 13 cartas, existen 6.227.020.800 permutaciones diferentes, lo que da una idea de la complicación de abordar el análisis de este juego, salvo que se empleen potentes herramientas matemáticas. Aunque por otra parte, hace que como solitario sea divertido jugar para ver si se consigue ganar la ratonera de 13 cartas y si son muchas veces.

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Los matemáticos Guy y Nowakowski han propuesto, y estudiado, algunas generalizaciones del juego de la ratonera, como la ratonera modular, en la que no se para de contar, es decir, al llegar a n se vuelve a empezar por el 1 y así de forma infinita. Han demostrado que si n es un número primo entonces solo hay dos tipos de permutaciones, desarreglos o permutaciones ganadoras. Y para el caso de los números no primos han estudiado solamente los juegos para n pequeños. Otra variación es jugar con varias copias de las cartas, por ejemplo, las 52 cartas de la baraja francesa, 4 copias desde 1 hasta 13.

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RAÚL IBAÑEZ
“La ratonera, el juego de Cayley”
(cultura científica, 25.01.17)